第三種電気主任技術者_平成23年度理論_問12

真空中の電子の運動に関する問題

問題文(要約)

真空中において、負の向き（x 軸左方向）に一定の電界 \( E \) [V/m] が存在しているとき、電子（質量 \( m_0 \) [kg], 電荷 \(-e\) [C]）を x 軸正方向に置き、初速度を 0 とすると、電子は等加速度運動をする。ここで、加速度 \( a \) は
\[
m_0 a = \gamma
\]
で与えられ、速度 \( v(t) \) は時間 \( t \) の \((1)\)次関数、走行距離 \( dis(t) \) は \((\eta)\)次関数、運動エネルギーは時間 \( t \) の \((\alpha)\)乗で増加する。それらを正しく組み合わせた選択肢を選ぶ問題。

重要度：必ず理解

電子が電界中で受ける力から始まる等加速度運動の基本公式は、電気主任技術者試験において頻出です。必ず理解しておきましょう。

出題意図とポイント

• 静電界中での電子に働く力（クーロン力）を用いた運動方程式を確認する問題。
• 「速度は時間に対して何次関数か」「変位は何次関数か」「運動エネルギーは何乗で増加するか」を問うことで、等加速度運動の基礎理解を試す典型的な出題です。
• 電子の電荷が \(-e\) であることや電界の向きに注意しながら、力の向きと加速度を求める点がポイントです。

正答番号：5

解法の手順

STEP1. 基本の公式等を確認

• 電子に働く力は、電界 \( E \) と電荷 \(-e\) から \(\, F = -eE \,\) ですが、問題文で x 軸の正方向における加速度 \(a\) を考えるときは、加速度の大きさとして \(\, m_0 a = eE \,\) を用いる（ベクトルの向きは既に正方向と指定）。
• 等加速度運動の基本式
  \[
  v(t) = v_0 + at, \quad
  dis(t) = v_0 t + \tfrac{1}{2}at^2, \quad
  K(t) = \tfrac{1}{2} m_0 v(t)^2.
  \]
• 今回は初速度 \( v_0 = 0 \) なので、\( v(t) = at \), \( dis(t) = \tfrac{1}{2} a t^2 \), \( K(t) = \tfrac{1}{2} m_0 (a t)^2 \).

STEP2. 数値を代入して計算

• 加速度 \( a = \dfrac{eE}{m_0} \)（大きさとして）。
• 速度 \( v(t) = \dfrac{eE}{m_0} \, t \)
  ⇒ 時間 \( t \) に対して 1 次（線形）。
• 走行距離 \( dis(t) = \tfrac{1}{2} \dfrac{eE}{m_0} t^2 \)
  ⇒ \( t^2 \) に比例するので 2 次。
• 運動エネルギー \( K(t) = \tfrac{1}{2} m_0 \left(\dfrac{eE}{m_0} t\right)^2 = \tfrac{1}{2} \dfrac{(eE)^2}{m_0} t^2 \)
  ⇒ 時間 \( t \) に対して 2 乗で増加。

STEP3. 答えを導く

• 力に相当する項 (\(\gamma\)) は \( eE \)。
• 速度は時間の 1 次関数、走行距離は 2 次関数、運動エネルギーは 2 乗で増加。
• よって表中でこれらが合致するのは選択肢 (5) です。

まとめ

今回の学習ポイントのまとめ

• 電界中の電子が受ける力は \(\, eE \,\) （大きさ）で表される（向きは電界と逆向きだが、問題文の設定で正方向をとっている）。
• 等加速度運動の 3 公式から速度・変位・運動エネルギーの時間依存性を正しく把握することで解が定まる。
• 第 3 種電気主任技術者試験などでは、運動方程式と力の向き、速度・変位・エネルギーの時間的変化を組み合わせる問題がしばしば出題されます。しっかり身につけておきましょう。