第三種電気主任技術者_平成21年度理論_問16

三相平衡回路問題（抵抗負荷と複素インピーダンス負荷）

問題文(要約)

三相平衡回路において、(a) 図1のように抵抗 \( R \) で構成された三相平衡三角負荷に線間電圧 \( E \) [V] を加えたときの線電流 \( i_1 \) を求める問題と、(b) 図1を図2のように置き換え、負荷をインピーダンス \( Z = 12 + j9 \,\Omega \)（線間電圧 200 V）としたときの線電流 \( i_2 \) の大きさを求める問題です。

重要度：必ず理解

三相平衡回路の基本的な電流・電圧の関係、および負荷が抵抗性か複素インピーダンスかによって計算式がどのように変化するかを理解することは、電気主任技術者試験において頻出であり必須の知識となります。

出題意図とポイント

• 三相三角負荷（抵抗のみ）の線電流の大きさを導く公式を理解しているか。
• 負荷が複素インピーダンスの場合、三相の接続形状（スターかデルタか）と線間電圧・相電圧の関係を正しく押さえているか。
• 位相角を伴うインピーダンスの場合でも、平衡負荷であれば線電流と相電流の関係が一定の公式で整理できる点を確認する。

正答番号：a:4 , b:5

解法の手順

STEP1. 基本の公式等を確認

1. 三相平衡負荷（抵抗のみ）のデルタ（△）接続

• 各相（枝）にかかる電圧は線間電圧 \( E \) そのものになります。
• 枝電流（相電流）は \( I_{\text{phase}} = \frac{E}{R} \) となります。
• 線電流 \( I_{\text{line}} \) は隣接する2つの相電流のベクトル差ですが、抵抗性・平衡負荷の場合は大きさで
  \[
  I_{\text{line}} = \sqrt{3} \times I_{\text{phase}} = \sqrt{3} \times \frac{E}{R}
  \]
  となります。

1. 三相平衡負荷（複素インピーダンス）のスター（Y）接続

• 負荷がスター接続かデルタ接続かを図から確認し、与えられた線間電圧 \( E \) から相電圧を決めます。
• スター接続では相電圧（各相にかかる電圧）は \( \frac{E}{\sqrt{3}} \) （ここで \( E \) は線間電圧）。
• インピーダンス \( Z \) が与えられるとき、相電流（＝線電流） は
  \[
  I = \frac{\frac{E}{\sqrt{3}}}{Z} = \frac{E}{\sqrt{3}\,Z}
  \]
• \( Z = 12 + j9 \,\Omega \) の大きさは \( |Z| = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15\,\Omega \)

STEP2. 数値を代入して計算

1. (a) の場合

• 枝電流 \( I_{\text{phase}} = \frac{E}{R} \)
• 線電流 \( i_1 = \sqrt{3} \times \frac{E}{R} \)

1. (b) の場合

• 問題文中の図2では、線間電圧が 200 V、負荷が \( Z = 12 + j9 \,\Omega \) でスター接続と読み取れます（各相にかかる電圧は \( \frac{200}{\sqrt{3}} \) V）
• \( |Z| = \sqrt{12^2 + 9^2} = 15 \,\Omega \)
• 相電流 \( = \frac{\frac{200}{\sqrt{3}}}{15} = \frac{200}{15 \sqrt{3}} \approx \frac{200}{25.98} \approx 7.7 \,\text{A} \)
• スター接続では線電流 \( i_2 \) ＝ 相電流なので、\( i_2 \approx 7.7 \,\text{A} \)

STEP3. 答えを導く

• (a) の答え：選択肢 (4) \( \displaystyle \frac{\sqrt{3} E}{R} \)
• (b) の答え：選択肢 (5) \( 7.7 A\)

まとめ

今回の学習ポイントのまとめ

• 三相デルタ回路で抵抗負荷 の場合、相電流は \( E/R \) となり、線電流はこれに \( \sqrt{3} \) をかけた値になる点が重要です。
• 三相スター回路でインピーダンス負荷 の場合、相電圧は \( E/\sqrt{3} \)（\( E \) は線間電圧）となり、相電流（＝線電流）は \( \frac{E/\sqrt{3}}{|Z|} \) で求められます。
• インピーダンス \( Z = 12 + j9 \) の大きさは \(15 Ω \)であることや、平衡負荷では位相角を考慮しても線電流の求め方が公式で整理できることを押さえましょう。