2025.02.25

第三種電気主任技術者_平成23年度理論_問06

だなお

Contents

直流回路の並列分岐と電流・電圧に関する問題
解法の手順
まとめ
1. 今回の学習ポイントのまとめ

直流回路の並列分岐と電流・電圧に関する問題

問題文(要約)

200 V の直流電源から 25 A の電流が流れ出しており，図に示す直流回路が構成されています。
左側は 16 Ω と r Ω の抵抗が直列，右側は 8 Ω と R Ω の抵抗が直列で，これら2つの直列回路が並列に接続されています。
抵抗の接続点 a, b の電位をそれぞれ \( V_a, V_b \) としたとき，\( V_a = V_b \) を満たすような (r, R) の組合せを選びなさい。また，電源の総電流は 25 A となる条件を考慮します。

重要度：必ず理解

直流回路における電位・抵抗の組合せ問題は基本的な考え方ですが，式の立て方に慣れていないと混乱しがちです。本試験の頻出分野ですので，必ず理解できるようにしておきましょう。

出題意図とポイント

電流の分配：並列回路なので，各枝（支路）に流れる電流の合計が 25 A になることがポイントです。
電位の一致：接続点 \( a \) と \( b \) の電位が同じ（\( V_a = V_b \)）になるには，左の直列抵抗(16 Ω + r Ω) と右の直列抵抗(8 Ω + R Ω) で電流・電圧の関係が整合する必要があります。
全体抵抗が 8 Ω：電源電圧が 200 V，総電流が 25 A なので，回路全体の合成抵抗は \( 200 V / 25 A = 8 Ω \) となります。

正答番号：4

答えは選択肢 (4) の \( r = 8.0\,\Omega \) と \( R = 4.0\,\Omega \) です。

解法の手順

STEP1. 基本の公式等を確認

合成抵抗：並列回路全体の抵抗 \( R_{\text{eq}} \) は
\[
\frac{1}{R_{\text{eq}}}
= \frac{1}{16 + r} + \frac{1}{8 + R}.
\]
また，総電流 25 A から \( R_{\text{eq}} = \frac{200}{25} = 8\,\Omega \) と分かります。
接続点 a, b の電位が等しい (\( V_a = V_b \))：

左枝では電圧降下が \( (16 + r)\Omega \) で合計 200 V を消費します。途中の接続点電位を \( V_a \) とすると，16 Ω には \( 200 – V_a \) V，r Ω には \( V_a \) V がかかります。
右枝では接続点電位を \( V_b \) とすると，8 Ω には \( 200 – V_b \) V，R Ω には \( V_b \) V がかかります。
\( V_a = V_b \) のとき，電圧分割や電流を同様に考えると，\(\frac{200 – V_a}{16} = \frac{V_a}{r}\) および \(\frac{200 – V_b}{8} = \frac{V_b}{R}\) が同じ電位 \( V_a = V_b \) で成り立ちます。

STEP2. 数値を代入して計算

\( V_a = V_b \) 条件から r と R の関係を導く
左枝の式を整理すると，
\[
\frac{200 – V_a}{16} = \frac{V_a}{r}
\]
右枝の式を整理すると，
\[
\frac{200 – V_b}{8} = \frac{V_b}{R}
\]
\( V_a = V_b \equiv V_n \) とおくと，両方の形を比較して
\[
\frac{r}{r + 16} = \frac{R}{R + 8}
\quad\Longrightarrow\quad r(R + 8) = R(r + 16)
\]
展開すると \( 8r = 16R \) となり，\( r = 2R \) とわかります。
全体抵抗 8 Ω 条件から具体的な数値を求める
並列回路の合成抵抗が 8 Ω になるように，
\[
\frac{1}{8}
= \frac{1}{16 + r} + \frac{1}{8 + R}
\]
ここで \( r = 2R \) を代入して解くと，
\[
r = 8\,\Omega, \quad R = 4\,\Omega
\]
が得られます。

STEP3. 答えを導く

最終的に \( (r, R) = (8.0\,\Omega,\ 4.0\,\Omega) \) が求まり，選択肢 (4) が正答となります。
実際に並列合成抵抗を確かめると，左枝は \( 16 + 8 = 24\,\Omega \)，右枝は \( 8 + 4 = 12\,\Omega \)。並列合成は
\[
\frac{1}{24} + \frac{1}{12} = \frac{1}{24} + \frac{2}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}
\]
よって合成抵抗は 8 Ω となり，200 V / 25 A の条件も満たします。