第三種電気主任技術者_平成23年度理論_問07

抵抗回路における並列・直列合成抵抗と部分電流の問題

問題文(要約)

可変抵抗 \( R_1 \) および \( R_2 \)、固定抵抗 \( R_x \)、直流電源 \( E \) からなる回路で、条件1と条件2のときに \( R_x \) に流れる電流 \( I \) が等しくなるように \( R_x \) の値を求める問題です。

• 条件1: \( R_1 = 90\,\Omega \)、\( R_2 = 6\,\Omega \)
• 条件2: \( R_1 = 70\,\Omega \)、\( R_2 = 4\,\Omega \)
• 選択肢: \( (1)\,1\,\Omega,\,(2)\,2\,\Omega,\,(3)\,4\,\Omega,\,(4)\,8\,\Omega,\,(5)\,12\,\Omega \)

重要度：必ず理解

直列・並列回路の合成抵抗と分流計算を理解するうえで、とても基本的な問題です。今後の電気回路分野の学習にも役立つため、しっかりマスターしておきましょう。

出題意図とポイント

• 回路全体をみると、\( R_1 \) と「\( R_2 \parallel R_x \)」が直列関係にあると考えられます。
• 設定が異なる2つの条件で、\( R_x \) に流れる電流 \( I \) が同じになるという点がポイントです。
• 並列回路での電流分配と直列回路での合成抵抗計算を組み合わせられるかどうかが問われています。

正答番号：4（\( R_x = 8\,\Omega \)）

解法の手順

STEP1. 基本の公式等を確認

1. 並列抵抗の合成抵抗
   \[
   R_a \parallel R_b = \frac{R_a \, R_b}{R_a + R_b}
   \]
2. 直列抵抗の合成抵抗は単純和
   \[
   R_{\text{total}} = R_1 + (R_2 \parallel R_x)
   \]
3. 回路電流 (全体) はオームの法則
   \[
   I_{\text{tot}} = \frac{E}{R_{\text{total}}}
   \]
4. 並列支路の電圧は共通
   \[
   V_{\text{parallel}} = I_{\text{tot}} \times (R_2 \parallel R_x)
   \]
5. \( R_x \) に流れる電流
   \[
   I_{R_x} = \frac{V_{\text{parallel}}}{R_x}
   \]

STEP2. 数値を代入して計算

条件1: \( R_1 = 90\,\Omega,\,R_2 = 6\,\Omega \)

• 並列部 \( R_2 \parallel R_x = \displaystyle \frac{6\,R_x}{6 + R_x} \)
• 全体の抵抗:
  \[
  R_{\text{tot1}} = 90 + \frac{6\,R_x}{6 + R_x}
  \]
• 回路電流:
  \[
  I_{\text{tot1}} = \frac{E}{R_{\text{tot1}}}
  \]
• 並列部の電圧 (すなわち \( R_x \) 並列部の端子電圧):
  \[
  V_{\text{p1}} = I_{\text{tot1}} \times \left(\frac{6\,R_x}{6 + R_x}\right)
  \]
• \( R_x \) に流れる電流:
  \[
  I_{R_x1} = \frac{V_{\text{p1}}}{R_x}
  = \frac{E}{90 + \tfrac{6 R_x}{6 + R_x}} \times \frac{6}{6 + R_x}
  \]

条件2: \( R_1 = 70\,\Omega,\,R_2 = 4\,\Omega \)

• 並列部 \( R_2 \parallel R_x = \displaystyle \frac{4\,R_x}{4 + R_x} \)
• 全体の抵抗:
  \[
  R_{\text{tot2}} = 70 + \frac{4\,R_x}{4 + R_x}
  \]
• \( R_x \) に流れる電流:
  \[
  I_{R_x2}
  = \frac{E}{70 + \tfrac{4 R_x}{4 + R_x}} \times \frac{4}{4 + R_x}
  \]

STEP3. 答えを導く

条件1と条件2で \( R_x \) に流れる電流が等しい
\[
I_{R_x1} = I_{R_x2}
\]
を満たすように式を立てて整理すると、
\[
R_x = 8\,\Omega
\]
となります。選択肢(4)が正解です。

まとめ

今回の学習ポイントのまとめ

• 直列・並列の合成抵抗を式でしっかり表し、どの電流や電圧がどのように関係しているかを把握することが大切です。
• 並列回路では「共通電圧」に着目し、その電圧を使って個々の抵抗に流れる電流を求めます。
• 条件を変えても同じ電流になる場合、式の立て方は同じで、2つの条件式を一致させて未知数を解く考え方が重要です。
• この問題のように「2条件で同じ電流」という特徴から、合成抵抗の等式を立てる力を身に付けておくと他の応用問題にも対応できます。