2025.02.10 2025.02.25

第三種電気主任技術者_平成22年度理論_問17

だなお

Contents

電界に関する問題の解説
解法の手順
まとめ
1. 今回の学習ポイントのまとめ

電界に関する問題の解説

問題文(要約)

正三角形 ABC（各辺 6 m）の頂点 A には \( +4 \times 10^{-9} \) [C]、頂点 B には \( -4 \times 10^{-9} \) [C] の点電荷が置かれています。残る頂点を C とし、底辺 AB の中点を D とします。
(a) 正の試験電荷 \( q_0 \) を点 C に置いたときの力を \( F_C \)、点 D に置いたときの力を \( F_D \) としたとき、比 \( F_C / F_D \) を求めます。
(b) 次に、\( q_0 \) を点 D から点 C に戻す際、AB 辺に平行で B→A 方向に強さ 0.5 [V/m] の一様電界を加えたところ、\( q_0 \) に電界の向きと逆向き (つまり A→B 向き) に \( 2 \times 10^{-9} \) [N] の力が働きました。このときの試験電荷 \( q_0 \) の大きさを求めます。

重要度：必ず理解

クーロン力や電界のベクトル合成など、電気主任技術者試験で頻出の基礎計算です。必ず計算手順を理解しておきましょう。

出題意図とポイント

クーロン力（\( F = k \frac{Q q}{r^2} \)）の利用とベクトル合成の基本を問う問題です。
ポイント C と D では電荷からの距離が異なり、力の大きさが大きく変わります。
一様電界による力 (\( F = q E \)) と、他電荷からのクーロン力を重ね合わせて考える点がポイントです。

正答番号

(a) \( \displaystyle 1/8 \)
(b) \( \displaystyle 4 \times 10^{-9} \)

解法の手順

STEP1. 基本の公式等を確認

クーロン力の大きさは
\[
F = k \frac{Q q}{r^2}
\]
ここで \( k = 9 \times 10^9 \) [N·m\(^2\)/C\(^2\)] です。
一様電界 \( E \) [V/m] 中の電荷 \( q \) が受ける力は
\[
F = q E
\]

STEP2. 数値を代入して計算

(a) 点 C と点 D におけるクーロン力の比 \( F_C / F_D \)

点 C における力 \( F_C \)
頂点 A からの反発力と、頂点 B からの引力をベクトル合成します。
結果的に水平方向(AB と平行)に左から右方向へ大きさ \( q_0 \) [N] の力となります
（計算例：距離 6 m、\( Q_A = +4 \times 10^{-9} \), \( Q_B = -4 \times 10^{-9} \) を使うと合成ベクトルの大きさが \( q_0 \) となる）。
点 D における力 \( F_D \)
D は AB の中点なので、A・B いずれの電荷からも距離 3 m となります。
A からの反発力、B からの引力を同方向に足し合わせると、
\( 4q_0 + 4q_0 = 8q_0 \) [N] という力になります
（計算例：\( F_A(D) = k \frac{4\times10^{-9} \cdot q_0}{3^2} = 4q_0 \) [N]）

よって、
\[
F_C = q_0, \quad
F_D = 8q_0 \;\;\Rightarrow\;\;
\frac{F_C}{F_D} = \frac{q_0}{8q_0} = \frac{1}{8}
\]

(b) 一様電界 0.5 [V/m] を加えたときに点 C で受ける合力

点 C において、A・B からの合力は (a) より \( q_0 \) N。
一様電界 0.5 [V/m] は B→A (左向き) なので、正電荷 \( q_0 \) は左向きに
\( q_0 \times 0.5 \) [N] の力を受けます。

したがって合力は
\[
F_{\text{net}} = q_0 – 0.5\,q_0 = 0.5\,q_0 \quad (\text{右向き}).
\]
この合力が \( 2 \times 10^{-9} \) [N] と与えられているので、
\[
0.5\,q_0 = 2 \times 10^{-9}
\;\;\Longrightarrow\;\;
q_0 = 4 \times 10^{-9} \; [\text{C}]
\]