第三種電気主任技術者_平成21年度理論_問05

コンデンサのエネルギーに関する問題

問題文(要約)

図に示された 5 種類の回路（いずれも電源電圧 \( E \) [V]、コンデンサ容量 \( C \) [F]）のうち、コンデンサ全体が蓄える電気エネルギーが最も小さくなる回路を選ぶ問題です。正答は(4)となっています。

出題意図とポイント（重要度 + A:頻出（必ず理解））

• 【頻出論点】コンデンサに蓄えられるエネルギー \( U \) は \( U = \frac{1}{2} C V^2 \) で表される。
• 回路の接続（直列・並列）によって合成容量が変化し、結果的にコンデンサの総エネルギーも変わる点を理解するのが狙い。
• 系統的に各回路での「総エネルギー」を比較し、小さい順・大きい順を見極める問題です。

解法の手順

STEP1. 基本の公式等を確認

1. コンデンサのエネルギー公式
   コンデンサに蓄えられるエネルギー \( U \) は、端子間電圧を \( V \)、容量を \( C \) とすると
   \( U = \frac{1}{2} C V^2 \)
   で表されます。
2. 直列・並列合成容量

• 直列接続の場合（例：容量 \( C_1, C_2 \) を直列で接続）：
  \( \displaystyle \frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} \quad \Rightarrow \quad C_{\text{eq}} = \frac{C_1 C_2}{C_1 + C_2} \)
• 並列接続の場合：
  \( C_{\text{eq}} = C_1 + C_2 \)

1. 回路ごとの電圧分担
   直列の場合、各コンデンサが分担する電圧に注意が必要ですが、(理想条件下では)同容量の直列接続なら均等に電圧が分割されます。

STEP2. 数値を代入して計算

ここでは 5 種類の回路のうち、代表的なパターンを簡単に比較してみます。

1. (1) の回路：コンデンサ 1 個（容量 \( C \)）
   電源電圧 \( E \) がそのままかかるので
   \( U_1 = \frac{1}{2} \, C \, E^2 \)
2. (2) or (3) など：コンデンサ 2 個（直列または並列）

• 並列接続なら合成容量は \( 2C \) となり、
  \( U_{\text{parallel}} = \frac{1}{2} \, (2C) \, E^2 = C E^2 \)
  → (1) より大きい
• 直列接続なら合成容量は \( \frac{C}{2} \) となり、
  \( U_{\text{series}} = \frac{1}{2} \left(\frac{C}{2}\right) E^2 = \frac{1}{4} C E^2 \)
  → (1) より小さい

1. (4) の回路：図を見る限り、実質的にコンデンサ 2 個が直列動作
   (それぞれが \( E/2 \) ずつ電圧を分担すると考えると、各コンデンサのエネルギーが小さくなり、トータルでも小さくなる)
   合成容量は直列のため \( C/2 \)。よって、
   \( U_4 = \frac{1}{2} \left(\frac{C}{2}\right) E^2 = \frac{1}{4} C E^2 \)
2. (5) の回路：複数電源が並列に見えるが、結果的に合成容量が大きくなる構成
   → エネルギーは大きくなりやすい

以上の比較から、(4) が最もエネルギーが小さい回路になります。

STEP3. 答えを導く

• 各回路の合成容量と電圧のかかり方を踏まえ、エネルギー式 \( \frac{1}{2} C_{\text{eq}} E^2 \) を比較します。
• (4) の回路は 直列接続効果 により合成容量が最も小さくなり、結果として全体のエネルギーが最小となる。

よって 答えは (4) となります。

まとめ

今回の学習ポイントのまとめ

• コンデンサのエネルギー式 \( U = \frac{1}{2} C V^2 \) は、基本的かつ頻出テーマ。
• 並列接続 → 容量は加算されるため大きくなり、結果的にエネルギーも大きい。
• 直列接続 → 合成容量は逆数で加わるため小さくなり、エネルギーも小さくなる。
• 第３種電気主任技術者試験などでも、コンデンサ回路の直列・並列はよく問われるポイント。

関連過去問へのリンク