2025.02.25

第三種電気主任技術者_平成23年度理論_問05

だなお

Contents

抵抗の温度変化と並列接続に関する問題
解法の手順
まとめ
1. 今回の学習ポイントのまとめ

抵抗の温度変化と並列接続に関する問題

問題文(要約)

20℃での抵抗値が \( R_1 \) で温度係数が \( \alpha_1 \) の抵抗器Aと、20℃での抵抗値が \( R_2 \) で温度係数が 0 の抵抗器Bを並列に接続している。20℃における並列抵抗を \( r_{20} \)、21℃における並列抵抗を \( r_{21} \) とし、変化率を
\[
\frac{r_{21} – r_{20}}{r_{20}}
\]
として求める問題。正しい変化率の式を、(1)～(5) の中から選ぶ。

重要度：必ず理解

抵抗の温度係数と並列回路の計算が融合した良問です。第３種電気主任技術者試験でもしばしば出題されるパターンですので、しっかりマスターしておきましょう。

出題意図とポイント

温度係数の基本公式（\( R = R_0 (1 + \alpha \Delta T) \)）を理解しているか。
並列回路の抵抗値の求め方を正しく使えるか。
抵抗が温度上昇したときの「並列接続における合成抵抗変化率」を導出できるか。

正答番号：2

解法の手順

STEP1. 基本の公式等を確認

抵抗 \( R \) の温度特性は、代表的には \( R = R_0 \bigl(1 + \alpha (T – T_0)\bigr) \) の形で表されます。
本問題では、A抵抗器は温度係数 \( \alpha_1 \neq 0 \)、B抵抗器は \( \alpha_2 = 0 \) となっている点が特徴です。
並列抵抗 \( r \) は、2抵抗の場合 \(\displaystyle r = \frac{R_A \times R_B}{R_A + R_B}\) で求められます。

STEP2. 数値を代入して計算

20℃における並列抵抗
\[
r_{20} = \frac{R_1 \times R_2}{R_1 + R_2}.
\]
21℃における各抵抗値

抵抗器A：\( R_1′ = R_1(1 + \alpha_1) \)（1℃ 上昇）
抵抗器B：\( R_2′ = R_2(1 + 0) = R_2 \)

21℃における並列抵抗
\[
r_{21} = \frac{R_1′ \times R_2′}{R_1′ + R_2′}
= \frac{R_1(1 + \alpha_1)\, R_2}{R_1(1 + \alpha_1) + R_2}.
\]
変化率 \(\displaystyle \frac{r_{21} – r_{20}}{r_{20}}\) を求める
\[
\frac{r_{21} – r_{20}}{r_{20}}
= \frac{\frac{R_1(1 + \alpha_1)\,R_2}{\,R_1(1 + \alpha_1) + R_2\,}
\;-\;
\frac{R_1 R_2}{\,R_1 + R_2\,}}{\frac{R_1 R_2}{\,R_1 + R_2\,}}.
\] 分母・分子を整理すると、最終的に
\[
\frac{\alpha_1 R_2}{\,R_1 + R_2 + \alpha_1 R_1\,}
\]
となります。これが選択肢(2)に該当します。