第三種電気主任技術者_平成21年度理論_問08

抵抗とインダクタンス \( L \) で構成された回路の問題

問題文(要約)

交流電圧源 \( E \) [V]（角周波数 \( \omega \) [rad/s]）に、インダクタンス \( L \) [H] のコイルと抵抗 \( R = \sqrt{3} \omega L \) [\(\Omega\)]、およびスイッチ S を直列接続している。スイッチを開いているときのコイル電流を \( I_1 \)[A]、その位相差（電源電圧に対して遅れる角度）を \( \theta_1 \)[\(^\circ\)] とする。スイッチを閉じたときのコイル電流を \( I_2 \)[A]、位相差を \( \theta_2 \)[\(^\circ\)] としたとき、選択肢(1)～(5)のうち正しい組合せを問う問題。

重要度：必ず理解

オームの法則やベクトル図・フェーザ図の基本理解に加えて、RL 回路のインピーダンス計算と位相角計算ができるかを問う、重要な問題です。必ず押さえておきましょう。

出題意図とポイント

• インダクタンス \( L \) と抵抗 \( R \) の直列回路のインピーダンスを求める。
• スイッチの開閉によって抵抗が短絡（ショート）されるかどうかを比較し、回路が変化することにより電流の大きさ・位相角がどのように変化するかを整理する。

正答番号：2

解法の手順

ここでは、スイッチ S が「開いているとき」と「閉じているとき」で回路がどう変化するかを考え、インピーダンスおよび電流の位相差を求めます。

STEP1. 基本の公式等を確認

1. インダクタ（コイル）のリアクタンス
   \( X_L = \omega L \)
2. 直列回路のインピーダンス
   抵抗 \( R \) とインダクタンス \( L \) が直列の場合、
   \( Z = \sqrt{R^2 + X_L^2} \)
3. 電流と電圧の位相差
   直列 RL 回路においては、電流が電圧に対して遅れる位相角 \( \theta \) は
   \( \tan \theta = \frac{X_L}{R} \)
4. オームの法則（交流回路）
   \( I = \frac{E}{Z} \)

STEP2. 数値を代入して計算

スイッチ S が開いているとき（抵抗あり）

• 抵抗 \( R = \sqrt{3} \omega L \)
• リアクタンス \( X_L = \omega L \)

よってインピーダンスは
\[
Z_1 = \sqrt{(\sqrt{3} \,\omega L)^2 + (\omega L)^2}
= \sqrt{3 (\omega L)^2 + (\omega L)^2}
= \sqrt{4(\omega L)^2}
= 2 \,\omega L
\]

したがって、コイルに流れる電流 \( I_1 \) は
\[
I_1 = \frac{E}{Z_1}
= \frac{E}{2 \omega L}
\]

また、位相差 \( \theta_1 \) は
\[
\tan \theta_1 = \frac{X_L}{R}
= \frac{\omega L}{\sqrt{3}\,\omega L}
= \frac{1}{\sqrt{3}}
\]
\[
\theta_1 = 30^\circ
\]

スイッチ S が閉じているとき（抵抗が短絡される）

• 抵抗成分は無視できる（ほぼ 0 \(\Omega\)）となり、純インダクタンスだけの回路と考えられます。 よってインピーダンスは
  \[
  Z_2 = X_L = \omega L
  \] コイル電流 \( I_2 \) は
  \[
  I_2 = \frac{E}{\omega L}
  \] 純インダクタ回路の位相差 \( \theta_2 \) は、電流が電圧より 90° 遅れるため
  \[
  \theta_2 = 90^\circ
  \]

STEP3. 答えを導く

1. 電流比
   \[
   \frac{I_1}{I_2}
   = \frac{\frac{E}{2 \omega L}}{\frac{E}{\omega L}}
   = \frac{1}{2}
   \]
2. 位相差の差
   \[
   |\theta_1 – \theta_2|
   = |30^\circ – 90^\circ|
   = 60^\circ
   \]

したがって「\( I_1 / I_2 = 1/2\)」かつ「\(|\theta_1 – \theta_2| = 60^\circ\)」を満たす選択肢(2)が正解となります。

まとめ

今回の学習ポイントのまとめ

• RL 直列回路のインピーダンスは \( \sqrt{R^2 + (X_L)^2} \) で求める。
• 位相角は \( \tan \theta = X_L / R \) で計算でき、インダクタの電流は電圧より遅れる（位相が負側にずれる）ことをしっかり把握。
• スイッチ操作で回路構成が変わると、インピーダンスが大きく変わり、電流の大きさや位相がどう変わるかをイメージしよう。
• 試験問題では、「開路時」「短絡時」の比較問題は頻出です。