第三種電気主任技術者_平成21年度理論_問09

交流回路の瞬時値とサイン波の位相

問題文(要約)

ある回路に、\( i = 4\sqrt{2} \sin(120\pi t) \) [A] の電流が流れている。
この電流が、時刻 \( t = 0 \) [s] 以降で初めて \( 4 \) [A] となる時刻 \( t = t_1 \) [s] を求める問題です。
選択肢は以下の 5 つで、正しいものを選びます。
1) \( \frac{1}{480} \), 2) \( \frac{1}{360} \), 3) \( \frac{1}{240} \), 4) \( \frac{1}{160} \), 5) \( \frac{1}{120} \)

重要度：必ず理解

交流回路の瞬時値を扱う問題は頻出です。サイン波の基本的な位相や振幅の意味をしっかり理解しておく必要があります。

出題意図とポイント

• 交流の瞬時値を表す式 \( i = I_{\mathrm{max}} \sin(\omega t) \) の基本を確認する。
• 「初めて」特定の値になる時刻を、位相角から計算する手順を確認する。
• 正弦波の振幅や角周波数を正しく読み取り、サインの値が目標値をとる瞬間を求められるかがポイントです。

正答番号：1

解法の手順

STEP1. 基本の公式等を確認

まず、交流電流の瞬時値は一般的に
\(
i(t) = I_{\mathrm{max}} \sin(\omega t + \phi)
\)
と表されます。
ここでは、
\(
i(t) = 4\sqrt{2} \sin(120\pi t)
\)
となっていますので、振幅(最大値)は
\(
I_{\mathrm{max}} = 4\sqrt{2}
\)
で、角周波数は
\(
\omega = 120\pi
\)
であることがわかります。

STEP2. 数値を代入して計算

「時刻 \( t = 0 \) 以降で初めて 4 [A] となる」条件は
\(
4\sqrt{2} \sin(120\pi t_1) = 4
\)
を満たす \( t_1 > 0 \) を求めることになります。

両辺を \( 4\sqrt{2} \) で割ると、
\(
\sin(120\pi t_1) = \frac{4}{4\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}
\)
となります。

\(
\frac{1}{\sqrt{2}}
\)
は
\(
\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)
\)
と同値なので、最も小さい正の解は
\(
120\pi t_1 = \frac{\pi}{4}
\)
となります。

よって、
\(
t_1 = \frac{\frac{\pi}{4}}{120\pi} = \frac{1}{480}
\)
となります。

STEP3. 答えを導く

計算の結果、
\(
t_1 = \frac{1}{480}
\)
[s] となりました。これは選択肢の中の (1) に相当します。

まとめ

今回の学習ポイントのまとめ

• 交流回路の瞬時値を求める基本式
  \(
  i(t) = I_{\mathrm{max}} \sin(\omega t + \phi)
  \)
  を理解する。
• サイン波が特定の値をとる最初の時刻は、サイン関数の最小正解から見つける。
• \(\sin(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2}}\) となる最初の正の角度は \(\theta = \frac{\pi}{4}\) である。

以上の流れをしっかり押さえておけば、類題にも対応しやすくなります。苦手意識を持たず、確認問題を繰り返し解いて自信をつけていきましょう。