2025.02.10

第三種電気主任技術者_平成22年度理論_問01

だなお

Contents

電位が0になる点を求める問題
解法の手順
まとめ
1. 今回の学習ポイントのまとめ

電位が0になる点を求める問題

問題文(要約)

真空中で、点Aに +4Q[C]、点Bに -Q[C] の点電荷が配置されている。AとBの距離は \( l \) (m) であり、この2点を結ぶ直線上で電位が \( 0 \) (V) となる点Pを求める問題。無限遠点は除外し、点Aより左の領域を a領域、A-B間を ab領域、Bより右を b領域とする。選択肢として、Pが存在する位置の組み合わせが複数提示されている。

重要度：必ず理解

電位計算の基礎と、クーロンの法則による位置関係の把握は非常に重要です。ここをしっかり押さえておくと、他の電界やコンデンサ問題にも応用できます。

出題意図とポイント

対象物理量：電荷 +4Q と -Q の組み合わせによる電位分布
ポイント：電位がゼロとなる点をクーロンの法則から導出する際、領域ごとに式の形が変化することを理解する
注目：電位0点が複数存在し得る場合があるため、「A-B間 (ab領域) に1点」「Bの右側 (b領域) に1点」が典型パターンである

正答番号：2

解法の手順

STEP1. 基本の公式等を確認

2点電荷による電位 \( V \) は、それぞれの電荷がつくる電位の和で表せます。点Aを座標 \( x=0 \) 、点Bを \( x=l \) としたとき、任意点 \( x \) における電位は

\[
V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \left( \frac{+4Q}{x} + \frac{-Q}{l – x} \right)
\]

ただし、点B側の電荷は負なので「-Q」になります。電位が0になる点を求めるには、上式を\( V=0 \) とおけばよいです。

STEP2. 数値を代入して計算

(1) A-B間 \( (0 < x < l) \) における方程式：

\[
\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}
\left( \frac{4Q}{x} – \frac{Q}{l – x} \right) = 0
\]

係数 \(\frac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\) は共通なので省略して、

\[
\frac{4}{x} – \frac{1}{l – x} = 0
\quad \Longrightarrow \quad
\frac{4}{x} = \frac{1}{l – x}
\]
\[
4(l – x) = x
\quad \Longrightarrow \quad
4l = 5x
\quad \Longrightarrow \quad
x = \frac{4l}{5}
\]

よって、A-B間 ( \( 0 < x < l \) ) では \( x=\frac{4l}{5} \) が存在します。

(2) Bより右側 \( (x>l) \) の場合：

\[
\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}
\left( \frac{4Q}{x} – \frac{Q}{x – l} \right) = 0
\quad (\text{ただし } x>l)
\]
同様に整理すると、

\[
\frac{4}{x} = \frac{1}{x – l}
\quad \Longrightarrow \quad
4(x – l) = x
\quad \Longrightarrow \quad
4x – 4l = x
\quad \Longrightarrow \quad
3x = 4l
\quad \Longrightarrow \quad
x = \frac{4l}{3}
\]

これは \( x=\frac{4l}{3} \) で、明らかに \( x>l \) を満たすため、Bより右側にも1点解が存在します。Bから見れば右に \( \frac{4l}{3} – l = \frac{1}{3}l \) だけ離れた位置です。

(3) Aより左側 \( (x<0) \) には解がないことも同様に式を立てれば確認できます。