2025.02.26

第三種電気主任技術者_平成23年度理論_問10

だなお

Contents

静電容量の求め方に関する問題
解法の手順
まとめ
1. 今回の学習ポイントのまとめ

静電容量の求め方に関する問題

問題文(要約)

交流電源（周波数1000Hz）に対して、1000Ωの抵抗と静電容量C [µF]のコンデンサを直列に接続した回路を考えます。電源電圧 \(\tilde{E}[V]\) と電流 \(\tilde{I}[A]\) の位相差が \(\pi/3 \) [rad] になったとき、このコンデンサの容量 C [µF] を求める問題です。選択肢として (1) 0.053 (2) 0.092 (3) 0.107 (4) 0.159 (5) 0.258 が与えられています。

重要度：必ず理解

直列回路のインピーダンスと位相角に関する基礎的な問題です。第一種・第二種と比べると、第三種電気主任技術者試験でも頻出の範囲であり、しっかり理解しておくと他の類題にも対応しやすくなります。

出題意図とポイント

RC直列回路における位相差（電圧と電流のズレ）の求め方を理解しているかを問う問題です。
位相差を \(\tan^{-1}\) を使って導出し、そこから静電容量 \( C \) を算出する流れがポイントです。
周波数 \( f \) から角周波数 \( \omega = 2\pi f \) を正しく計算して、リアクタンス \( X_C = \frac{1}{\omega C} \) と抵抗 \( R \) の組み合わせで位相差を求める手法が本質となります。

正答番号：2

解法の手順

STEP1. 基本の公式等を確認

RC直列回路では、回路全体のインピーダンス \( Z \) は次式で表せます。

\[
Z = \sqrt{ R^2 + \left(-X_C\right)^2 }
\quad
\text{ただし}
\quad
X_C = \frac{1}{\omega C}
\]
\[
\omega = 2\pi f
\]

ここで、電流 \( I \) と電圧 \( E \) の位相差 \(\phi\) は、一般的に次式で示されます（符号は回路が抵抗-コンデンサの場合、電圧が遅れるため負になることが多いですが、位相差の大きさを \(\phi\) として整理します）。
\[
\tan |\phi| = \frac{X_C}{R}
\]
今回は位相差の大きさが \(\frac{\pi}{3}\) なので、
\[
|\phi| = \frac{\pi}{3}
\quad
\Longrightarrow
\quad
\tan\left(\frac{\pi}{3}\right) = \sqrt{3}
\]
従って、
\[
\frac{X_C}{R} = \sqrt{3}
\]

STEP2. 数値を代入して計算

与えられた値は以下のとおりです。

抵抗 \( R = 1000\,\Omega \)
周波数 \( f = 1000\,\mathrm{Hz} \)
角周波数 \( \omega = 2\pi \times 1000 = 2000\pi \,\mathrm{rad/s} \)

まず、RC直列回路の位相差条件から
\[
\frac{X_C}{R} = \sqrt{3}
\quad \Longrightarrow \quad
X_C = \sqrt{3} \cdot R
\]
コンデンサのリアクタンス \( X_C \) は
\[
X_C = \frac{1}{\omega C}
\]
よって
\[
\frac{1}{\omega C} = \sqrt{3} \cdot R
\]
ここから
\[
C = \frac{1}{\omega R \sqrt{3}}
\]

以上を代入すると、
\[
C = \frac{1}{ (2000\pi) \times 1000 \times \sqrt{3} }
\]
数値計算のイメージは以下のとおりです（概算値）：

\( 2000\pi \approx 6280 \)
\( 6280 \times 1000 = 6.28 \times 10^6 \)
\( \sqrt{3} \approx 1.732 \)
\( 6.28 \times 10^6 \times 1.732 \approx 1.089 \times 10^7 \)
\( \frac{1}{1.089 \times 10^7} \approx 9.18 \times 10^{-8} = 0.0918 \,\mu\mathrm{F} \)

結果、およそ \( 0.092 \,\mu\mathrm{F} \) となります。