第三種電気主任技術者_平成21年度理論_問01

平行平板コンデンサの並列接続と電界・電荷分布に関する問題

問題文(要約)

ある直流電圧源 \( V_0 \) [V] に対して、比誘電率 \( \varepsilon_{r1}, \varepsilon_{r2} \) を持つ 2 つの平行平板コンデンサ \( C_1 \) と \( C_2 \)（それぞれ極板面積 \( S \) 、極板間隔 \( d \)）が、図のように並列接続されています。各コンデンサの電界強度 \( E_1 \)、\( E_2 \) および電束密度 \( D_1 \)、\( D_2 \)、それらが蓄える電荷 \( Q_1 \)、\( Q_2 \) を問う問題です。問題中の空白（(ア), (イ), (ウ)）に当てはまる式として正しい組合せを答えます。

出題意図とポイント（重要度：A：頻出（必ず理解））

• 並列接続のコンデンサ には、両端に 同じ電圧 が印加されることがポイントです。
• 平行板コンデンサの 電界強度 は、基本的に \( E = \frac{V}{d} \)（一様な電界を仮定）で求められます。
• 電束密度 \( D \) は、\( D = \varepsilon_0 \varepsilon_r E \) で与えられ、蓄えられる電荷は \( Q = D \times S \) で求まります。

解法の手順

STEP1. 基本の公式等を確認

1. 並列接続 なので、各コンデンサには同じ電圧 \( V_0 \) が加わります。
   \( C_1 \) と \( C_2 \) それぞれにかかる電圧は \( V_0 \) となる。
2. 平行平板コンデンサの電界強度
   電極間隔が \( d \) のとき、\( E = \frac{V}{d} \) とあらわせる（ここでは端の境界効果等を無視）。
3. 電束密度 \( D \)
   一様電界中の線形誘電体の場合、\( D = \varepsilon_0 \, \varepsilon_r \, E \)。
4. 蓄える電荷 \( Q \)
   電束密度が一定の平行板とみなせば、\( Q = D \times S = \varepsilon_0 \, \varepsilon_r \, E \, S \)。
   またコンデンサの容量は \( C = \frac{\varepsilon_0 \varepsilon_r S}{d} \) なので、\( Q = C \times V_0 \) としても一致します。

STEP2. 数値（式）を代入して計算

• 電界強度
  並列接続なのでそれぞれ
  \( E_1 = \frac{V_0}{d}, \quad E_2 = \frac{V_0}{d} \)
• 電束密度
  \( D_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_{r1} E_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_{r1} \frac{V_0}{d} \)
  \( D_2 = \varepsilon_0 \varepsilon_{r2} E_2 = \varepsilon_0 \varepsilon_{r2} \frac{V_0}{d} \)
• 電荷
  \( Q_1 = D_1 \times S = \varepsilon_0 \varepsilon_{r1} \frac{V_0}{d} \times S \)
  \( Q_2 = D_2 \times S = \varepsilon_0 \varepsilon_{r2} \frac{V_0}{d} \times S \)

STEP3. 答えを導く

上記の結果を、問題文中の空欄 (ア), (イ), (ウ) にそれぞれ対応させると、

• (ア) \( E_1 = \frac{V_0}{d}, \quad E_2 = \frac{V_0}{d} \)
• (イ) \( D_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_{r1} \frac{V_0}{d}, \quad D_2 = \varepsilon_0 \varepsilon_{r2} \frac{V_0}{d} \)
• (ウ) \( Q_1 = \varepsilon_0 \varepsilon_{r1} \frac{S \, V_0}{d}, \quad Q_2 = \varepsilon_0 \varepsilon_{r2} \frac{S \, V_0}{d} \)

したがって表の選択肢では (4) が正しい 組合せとなります。

まとめ

今回の学習ポイントのまとめ

• 並列接続されたコンデンサは 同じ電圧 を分担する。
• 平行平板コンデンサの電界強度は \( E = \frac{V}{d} \) という基本式を活用する。
• 電束密度は \( D = \varepsilon_0 \varepsilon_r E \)、蓄えられる電荷は \( Q = D \times S \) で求められる。
• 「並列接続」であることを見極めると、式をすっきり整理できる。

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