第三種電気主任技術者_平成21年度理論_問06

抵抗器の直列・並列接続に関する問題

問題文(要約)

直列接続では電源電圧30V、回路電流6A。並列接続では同じ電源電圧30V、回路電流25A。2つの抵抗 \( R_1 \) と \( R_2 \) が異なる値を持つとき、小さいほうの抵抗値を求める問題。

重要度：必ず理解

本問題は電気回路における直列・並列接続の基本公式を用いて、抵抗値を計算する典型的な問題です。必ず押さえておきたいポイントなので、しっかり理解しましょう。

出題意図とポイント

• 直列接続時の合成抵抗は \( R_1 + R_2 \)。
• 並列接続時の合成抵抗は \( \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} \)。
• 与えられた電流と電圧からそれぞれの合成抵抗を求める。
• 2つの方程式を連立させ、\( R_1 \) と \( R_2 \) を求める（または小さいほうの値を特定する）。

正答番号：4

解法の手順

STEP1. 基本の公式等を確認

• オームの法則 \( V = I \times R \)
• 直列接続の合成抵抗 \( R_{\text{series}} = R_1 + R_2 \)
• 並列接続の合成抵抗 \( R_{\text{parallel}} = \frac{1}{\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}} \)

STEP2. 数値を代入して計算

1. 直列接続時
   電圧 \( 30 \, \mathrm{V} \)・電流 \( 6 \, \mathrm{A} \)
   合成抵抗は
   \[
   R_{\text{series}} = \frac{V}{I} = \frac{30}{6} = 5 \, \Omega.
   \]
   したがって
   \[
   R_1 + R_2 = 5 \, \Omega.
   \]
2. 並列接続時
   電圧 \( 30 \, \mathrm{V} \)・電流 \( 25 \, \mathrm{A} \)
   合成抵抗は
   \[
   R_{\text{parallel}} = \frac{V}{I} = \frac{30}{25} = 1.2 \, \Omega.
   \]
   したがって
   \[
   \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{1}{1.2} \approx 0.8333.
   \]
3. 連立方程式を解く
   \[
   \begin{cases}
   R_1 + R_2 = 5 \\
   \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = 0.8333
   \end{cases}
   \]
   これを解くと
   \[
   R_1 = 2, \; R_2 = 3 \quad \text{または} \quad R_1 = 3, \; R_2 = 2.
   \]
   小さいほうの抵抗値は \( 2 \,\Omega \) となります。

STEP3. 答えを導く

以上の計算より、2つの抵抗のうち小さいほうの値は \( 2 \,\Omega \) が正解です。

まとめ

今回の学習ポイントのまとめ

• 直列接続では合成抵抗は足し算になる。
• 並列接続では合成抵抗は逆数で足し合わせる計算をする。
• オームの法則から合成抵抗を求め、それを連立させるだけで求解できる。
• 小さいほうの抵抗値が 2 Ω になることを確認するプロセスが大切。