2025.02.10 2025.02.25

第三種電気主任技術者_平成22年度理論_問15

だなお

Contents

三相回路の消費電力に関する問題
解法の手順
まとめ
1. 今回の学習ポイントのまとめ

三相回路の消費電力に関する問題

問題文(要約)

平衡三相回路（各辺が抵抗 \( R \) のデルタ接続）において、端子 \( a, b, c \) からそれぞれ抵抗 \( \frac{R}{2} \) を介してデルタ回路に接続しています。

端子 \( a, c \) に単相交流 100 V を接続したところ消費電力が 200 W となった。このときの抵抗 \( R \) はいくつか。
次に端子 \( a, b, c \) に線間電圧 200 V の三相交流を与えたとき、全消費電力は何 kW になるか。

重要度：必ず理解

三相交流回路の総消費電力やデルタ接続とスター接続の変換を理解する典型的な問題です。試験でもよく出題される分野なので、しっかり押さえましょう。

出題意図とポイント

デルタ接続(三角形)における抵抗の見方を正しく捉えること
1つの線間に単相電源を接続した場合の経路(並列経路の把握)
デルタ・スター変換を使って三相電力計算をシンプルに行うテクニック

正答番号

(a) 2番（\( R = 30 \,\Omega \)）
(b) 4番（全消費電力 \( 1.6 \,\text{kW} \)）

解法の手順

STEP1. 基本の公式等を確認

単相電力の公式
\( P = \frac{V^2}{R} \)
三相電力（スター接続負荷）の公式
\( P_{3\phi} = 3 \times \frac{(V_{\mathrm{ph}})^2}{R_{\mathrm{ph}}} \)
ただし、線間電圧が \( V_{\mathrm{L}} \) のとき、スター接続負荷への相電圧は
\( V_{\mathrm{ph}} = \frac{V_{\mathrm{L}}}{\sqrt{3}} \)

STEP2. 数値を代入して計算

(a) 単相 100 V 接続時の抵抗 \( R \)

回路を見ると、端子 \( a \) からノード \( a \) までは \( \frac{R}{2} \)、ノード \( c \) から端子 \( c \) までも \( \frac{R}{2} \) の抵抗があります。また、デルタ部分はノード \( a \) とノード \( c \) の間に直接 \( R \) があるだけでなく、ノード \( b \) を経由する別経路（\( R + R = 2R \)）も存在します。
よって、ノード \( a \) からノード \( c \) のデルタ部は
\[
R \parallel (R + R) = R \parallel 2R = \frac{R \cdot 2R}{R + 2R} = \frac{2R^2}{3R} = \frac{2R}{3}
\]
これがノード間の「合成抵抗」となり、さらに端子側の \( \frac{R}{2} \) と \( \frac{R}{2} \) が直列なので、端子間合成抵抗は
\[
\frac{R}{2} + \frac{2R}{3} + \frac{R}{2}
= R + \frac{2R}{3}
= \frac{3R}{3} + \frac{2R}{3}
= \frac{5R}{3}
\]
単相電力 \( P = 200\,\text{W} \) より
\[
200 = \frac{(100)^2}{\tfrac{5R}{3}}
\;\;\Longrightarrow\;\;
200 = \frac{10000 \times 3}{5R}
\;\;\Longrightarrow\;\;
5R = \frac{30000}{200} = 150
\;\;\Longrightarrow\;\;
R = 30\,\Omega.
\]

(b) 三相 200 V 接続時の全消費電力

上記より \( R = 30\,\Omega \) が分かったら、今度は三相電源(線間電圧 200 V)を端子 \( a, b, c \) に加えます。
デルタ部分(\( R \))をスター変換すると、各相抵抗は
\[
R_{\star} = \frac{R \cdot R}{R + R + R} = \frac{R^2}{3R} = \frac{R}{3}
\]
よって、ノード(スター変換後の中心点)から各ノード \( a, b, c \) までは \( \frac{R}{3} \)。さらに、端子からノードまでに \( \frac{R}{2} \) 直列が入るため、1相あたり合成は
\[
\frac{R}{2} + \frac{R}{3}
= \frac{3R}{6} + \frac{2R}{6}
= \frac{5R}{6}
\]
これを \( R_{\mathrm{ph}} \) とすると、線間電圧 \( V_{\mathrm{L}} = 200\,\mathrm{V} \) から各相電圧は
\[
V_{\mathrm{ph}} = \frac{200}{\sqrt{3}}
\]
したがって三相合計消費電力は
\[
P_{3\phi}
= 3 \times \frac{(V_{\mathrm{ph}})^2}{R_{\mathrm{ph}}}
= 3 \times \frac{\bigl(\frac{200}{\sqrt{3}}\bigr)^2}{\tfrac{5R}{6}}
\]
数値を代入し、\( R = 30 \) を用いて計算すると
\[
R_{\mathrm{ph}}
= \frac{5 \times 30}{6}
= 25\,\Omega,
\]
\[
V_{\mathrm{ph}}
= \frac{200}{\sqrt{3}} \approx 115.47\,\mathrm{V}
\]
\[
(115.47)^2 \approx 13334.7,\quad
\frac{13334.7}{25} \approx 533.39,\quad
3 \times 533.39 \approx 1600.17\,\mathrm{W}
= 1.60\,\mathrm{kW}
\]
よって答えは \( 1.6 \,\text{kW} \) となります。